已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).
(Ⅰ)請寫出fn(x)的表達(dá)式(不需證明);
(Ⅱ)設(shè)fn(x)的極小值點(diǎn)為Pn(xn,yn),求yn;
(Ⅲ)設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,試求a-b的最小值.
(Ⅰ)fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*).…(4分)
(Ⅱ)∵fn(x)=(x+n+1)•ex
∴當(dāng)x>-(n+1)時,fn(x)>0;當(dāng)x<-(n+1)時,fn(x)<0
∴當(dāng)x=-(n+1)時,fn(x)取得極小值fn(-(n+1))=-e-(n+1),
yn=-e-(n+1)(n∈N*).…(8分)
(Ⅲ) 解法一:∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2,所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2.…(9分)
b=fn(-(n+1))=-e-(n+1),
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
令h(x)=(x-3)2+e-(x+1)(x≥0),則h'(x)=2(x-3)-e-(x+1).…(10分)
∵h(yuǎn)'(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,∴h'(x)≥h'(0)=-6-e-1,
∵h(yuǎn)'(3)=-e-4<0,h'(4)=2-e-5>0,
∴存在x0∈(3,4)使得h'(x0)=0.…(12分)
∵h(yuǎn)'(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)0≤x<x0時,h'(x0)<0;當(dāng)x>x0時,h'(x0)>0,
即h(x)在[x0,+∞)單調(diào)遞增,在[0,x0)單調(diào)遞減,
∴(h(x))min=h(x0),
又∵h(yuǎn)(3)=e-4,h(4)=1+e-5,h(4)>h(3),
∴當(dāng)n=3時,a-b取得最小值e-4.…(14分)
解法二:∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2,所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2.…(9分)
b=fn(-(n+1))=-e-(n+1),
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
cn=(n-3)2+e-(n+1),
cn+1-cn=2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
,…(10分)
當(dāng)n≥3時,cn+1-cn=2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
,又因為n≥3,所以2n-5≥1,
1
en+2
>0
,0<
1
en+1
<1
,所以2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
>0
,所以cn+1>cn.…(12分)
c1=4+
1
e2
c2=1+
1
e3
,c3=
1
e4
,c1>c2>c3
∴當(dāng)n=3時,a-b取得最小值e-4.…(14分)
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在如圖所示的程序框圖中,已知f0(x)=x·ex,則輸出的是
[     ]
A.(x+2010)ex
B.xex
C.(1+2010x)ex
D.2010(1+x)ex

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