【題目】已知函數(shù), .
(1)若時(shí),求函數(shù)的最小值;
(2)若,證明:函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)最小值;(2)見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí), ,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到極值點(diǎn),然后判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最小值;
(2)由,得,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上最多有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí), , ,即可得到結(jié)論;
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí), 在上最多有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng),函數(shù),得,令,利用的取值,得到函數(shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增,要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需要函數(shù)的極小值,即,進(jìn)而求解實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析:
(1)當(dāng)時(shí), ,
所以 .
令,得,當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), ,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí), 有最小值.
(2)由,得 ,
所以當(dāng)時(shí), ,
函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí), 在上最多有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)楫?dāng)時(shí), , ,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有零點(diǎn).
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí), 在上最多有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn),所以.
由,得.
令,
因?yàn)?/span>, ,所以在上只有一個(gè)零點(diǎn),
設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為,
當(dāng)時(shí), , ;
當(dāng)時(shí), , ;
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.
要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需要函數(shù)的極小值,即.
因?yàn)?/span>,
所以
,
可得,
又因?yàn)?/span>在上是增函數(shù),且,
所以, ,
由,得 ,
所以,即.
以下驗(yàn)證當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí), , ,
所以.
因?yàn)?/span> ,且,
所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn).
又因?yàn)?/span> (因).
且,所以在上有一個(gè)零點(diǎn).
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有最小值;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù);③若,則;④方程可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根.
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(為參數(shù)),曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,直線的普通方程;
(2)把直線向左平移一個(gè)單位得到直線,設(shè)與曲線的交點(diǎn)為, , 為曲線上任意一點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中, 底面, , , , 為線段上一點(diǎn), , 為的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在底面是直角梯形的四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則點(diǎn)到平面的距離為( )
A. B. 2 C. D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化,相互統(tǒng)一的和諧美.定義:能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )個(gè)
①對(duì)圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中,一定不能為偶函數(shù);
②函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù);
③存在圓,使得是圓的太極函數(shù);
④直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù).
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M為AD的中點(diǎn),N為PC上一點(diǎn),且PC=3PN.
(1)求證:MN∥平面PAB;
(2)求二面角PANM的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題:“,”,命題:“ ,”.若命題“”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. 或 B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某親子游戲結(jié)束時(shí)有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:盒子里面共有4個(gè)小球,小球上分別寫有0,1,2,3的數(shù)字,小球除數(shù)字外其它完全相同,每對(duì)親子中,家長(zhǎng)先從盒子中取出一個(gè)小球,記下數(shù)字后將小球放回,孩子再?gòu)暮凶又腥〕鲆粋(gè)小球,記下小球上數(shù)字將小球放回.①若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積大于4,則獎(jiǎng)勵(lì)飛機(jī)玩具一個(gè);②若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積在區(qū)間上,則獎(jiǎng)勵(lì)汽車玩具一個(gè);③若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積小于1,則獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.
(1)求每對(duì)親子獲得飛機(jī)玩具的概率;
(2)試比較每對(duì)親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率,哪個(gè)更大?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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