Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+ ，其中a＞0
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上存在極值點，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若f（x2）﹣f（x1）存在最大值，記為M（a）．則a≤e+ 時，M（a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= ﹣1﹣ = ，x∈（0，+∞）， 由題意得，x2﹣ax+1=0在x∈（2，+∞）上有根（不為重根），
即a=x+ 在x∈（2，+∞）上有解，
由y=x+ 在x∈（2，+∞）上遞增，得x+ ∈（ ，+∞），
檢驗，a＞ 時，f（x）在x∈（2，+∞）上存在極值點，
∴a∈（ ，+∞）；
（Ⅱ）若0＜a≤2，∵f′（x）= 在（0，+∞）上滿足f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上遞減，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，
∴f（x2）﹣f（x1）不存在最大值，則a＞2；
∴方程x2﹣ax+1=0有2個不相等的正實數(shù)根，
令其為m，n，且不妨設(shè)0＜m＜1＜n，
則 ，
f（x）在（0，m）遞減，在（m，n）遞增，在（n，+∞）遞減，
對任意x1∈（0，1），有f（x1）≥f（m），
對任意x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（n），
∴[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），
∴M（a）=f（n）﹣f（m）=aln +（m﹣n）+（ ﹣ ），
將a=m+n= +n，m= 代入上式，消去a，m得：
M（a）=2[（ +n）lnn+（ ﹣n）]，
∵2＜a≤e+ ，∴ +n≤e+ ，n＞1，
由y=x+ 在x∈（1，+∞）遞增，得n∈（1，e]，
設(shè)h（x）=2（ +x）lnx+2（ ﹣x），x∈（1，e]，
h′（x）=2（1﹣ ）lnx，x∈（1，e]，
∴h′（x）＞0，即h（x）在（1，e]遞增，
∴[h（x）]max=h（e）= ，
∴M（a）存在最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到a=x+ 在x∈（2，+∞）上有解，由y=x+ 在x∈（2，+∞）上遞增，得x+ ∈（ ，+∞），求出a的范圍即可；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），求出M（a）=f（n）﹣f（m）=aln +（m﹣n）+（ ﹣ ），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出M（a）的最大值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．