【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|,其中a,b,c均為正實數(shù),且ab+bc+ac=1.
(Ⅰ)當(dāng)b=1時,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)當(dāng)x∈R時,求證f(x)≤g(x).
【答案】解:(Ⅰ)由題意,當(dāng)b=1時,f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|= , 當(dāng)x≤﹣1時,f(x)=﹣2<1,不等式f(x)≥1無解,不等式f(x)≥1的解集為;
當(dāng)﹣1<x<1時,f(x)=2x,由不等式f(x)≥1,解得x≥ ,所以 ≤x<1;
當(dāng)x≥1時,f(x)=2≥1恒成立,
所以不等式f(x)≥1的解集為[ ,+∞).
(Ⅱ)(Ⅱ)當(dāng)x∈R時,f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +(﹣x+1)|=|b2+1|=b2+1;
g(x)=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣(x﹣2b2)|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2 .
而 a2+c2+2b2﹣(b2+1)=a2+c2+b2﹣1= ( a2+c2+b2+a2+c2+b2 )﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時,等號成立,即 a2+c2+2b2≥b2+1,即f(x)≤g(x).
【解析】(Ⅰ)當(dāng)b=1時,把f(x)用分段函數(shù)來表示,分類討論,求得f(x)≥1的解集.(Ⅱ)當(dāng)x∈R時,先求得f(x)的最大值為b2+1,再求得g(x)的最小值,根據(jù)g(x)的最小值減去f(x)的最大值大于或等于零,可得f(x)≤g(x)成立.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識,掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右焦點為,過的直線與交于兩點,點的坐標(biāo)為.
(1)當(dāng)與軸垂直時,求直線的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點,證明:.
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=x+1+|3﹣x|,x≥﹣1.
(I)求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)若f(x)的最小值為n,正數(shù)a,b滿足2nab=a+2b,求2a+b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(kR),且滿足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線沒有交點,求a的取值范圍;
(3)若函數(shù),x[0,log23],是否存在實數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(kR),且滿足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線沒有交點,求a的取值范圍;
(3)若函數(shù),x[0,log23],是否存在實數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y2=4x的一條弦AB經(jīng)過焦點F,取線段OB的中點D,延長OA至點C,使|OA|=|AC|,過點C,D作y軸的垂線,垂足分別為E,G,則|EG|的最小值為 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣x+ ,其中a>0
(Ⅰ)若f(x)在(2,+∞)上存在極值點,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),若f(x2)﹣f(x1)存在最大值,記為M(a).則a≤e+ 時,M(a)是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李冶(1192﹣1279),真定欒城(今屬河北石家莊市)人,金元時期的數(shù)學(xué)家、詩人、晚年在封龍山隱居講學(xué),數(shù)學(xué)著作多部,其中《益古演段》主要研究平面圖形問題:求圓的直徑,正方形的邊長等,其中一問:現(xiàn)有正方形方田一塊,內(nèi)部有一個圓形水池,其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝,若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步,則圓池直徑和方田的邊長分別是(注:240平方步為1畝,圓周率按3近似計算)( )
A.10步、50步
B.20步、60步
C.30步、70步
D.40步、80步
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|a﹣x|(a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a= 時,求使不等式f(2x﹣ )>2f(x+2)+2成立的x的集合A;
(Ⅱ)設(shè)x0∈A,證明f(x0x)≥x0f(x)+f(ax0).
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