Question

已知函數(shù)h（x）=2^x（x∈R），它的反函數(shù)記為h^-1（x）．A、B、C三點(diǎn)在函數(shù)h^-1（x）的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8（a＞1），設(shè)△ABC的面積為S．
（1）求S=f（a）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（a）的值域；
（3）若S＞2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)h（x）=2^x的反函數(shù)，在反函數(shù)解析式中分別取x=a，a+4，a+8求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，利用三角形的面積等于兩個(gè)小梯形的面積減去大梯形的面積整理得答案；
（2）首先求真數(shù)的值域，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（a）的值域；
（3）把S代入S＞2，求解對(duì)數(shù)不等式即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由h（x）=2^x（x∈R），得h^-1（x）=log₂x（x＞0）．
∵A、B、C三點(diǎn)在函數(shù)h^-1（x）的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8（a＞1），
∴h^-1（a）=log₂a，h^-1（a+4）=log₂（a+4），h^-1（a+8）=log₂（a+8）．
過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線AA₁，BB₁，CC₁．
∴S=f（a）=SABB1A1+SBCC1B1-SACC1A1
=

1

2

[log2a+log2(a+4)]×4+

1

2

[log2(a+4)+log2(a+8)]×4-

1

2

[log2a+log2(a+8)]
=2log2(a2+4a)+2log2(a2+12a+32)-4log2(a2+8a)
=2log2

a(a+4)(a+4)(a+8)

a2(a+8)2

=2log2

(a+4)2

a(a+8)

 （a＞1）；
（2）令g（a）=

(a+4)2

a(a+8)

=1+

16

a2+8a

，
由已知a＞1，得a²+8a＞9，0＜

1

a2+8a

＜

1

9

，
0＜

16

a2+8a

＜

16

9

，1＜1+

16

a2+8a

＜

25

9

．
∴1＜g（a）＜

25

9

．
則f（a）=2log₂g（a）∈(0，4log2

5

3

)；
（3）由S＞2，得2log2

(a+4)2

a(a+8)

＞2，即log2

(a+4)2

a(a+8)

＞1，

(a+4)2

a(a+8)

＞2（a＞1），解得a＞4

2

-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)的值域，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．