Question

已知函數h（x）=2^x，且h（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是偶函數，g（x）是奇函數．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）證明：f（x）是（0，+∞）上的單調增函數；
（3）設F（x）=4a•[g（x）+2^-x-1]+4^x+1，x∈[0，2]，討論F（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）用-x代替x代入h（x）表達式，利用f（x）、g（x）的奇偶性聯解關于f（x）、g（x）的方程組，即可得到f（x）和g（x）的解析式；
（2）設x₂＞x₁＞0，利用單調性的定義將f（x₂）與f（x₁）作差、因式分解，根據指數函數的性質判斷各個因式的符號得f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）．由此可得f（x）是（0，+∞）上的單調增函數．
（3）設t=2^x，t∈[1，4]，將函數F（x）化簡整理得F（x）=t²+2at+1，再根據二次函數的圖象與性質加以討論，即可得出F（x）的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，
∴h（-x）=f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=2^-x…①，
又∵h（x）=f（x）+g（x）=2^x…②，
∴①②聯解，可得f(x)=

2x+2-x

2

，g(x)=

2x-2-x

2

．
（2）設x₂、x₁是區(qū)間（0，+∞）上的任意兩個值，且x₂＞x₁，
則f(x2)-f(x1)=

2x2+2-x2

2

-

2x1+2-x1

2

=

2x2-2x1+ 1 2x2 - 1 2x1

2

=

(2x2-2x1)(2x2+x1-1)

2•2x2+x1

．
∵x₂＞x₁，且y=2^x為R上的單調增函數，∴2x2＞2x1．
又∵x₂＞x₁＞0，可得x₂+x₁＞0，∴2x2+x1＞20=1．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
因此，f（x）是（0，+∞）上的單調增函數．
（3）由題意，可得
F(x)=4a•[

2x-2-x

2

+

2-x

2

]+4x+1=4x+2a•2x+1．
設t=2^x，t∈[1，4]，可得F（x）=t²+2at+1=（t+a）²+1-a²．
設g（t）=（t+a）²+1-a²，
可得g（t）是關于t的二次函數，圖象為開口向上的拋物線，并于直線t=-a對稱
①當a＞-

5

2

時，t=-a＜

5

2

，可得t=4距離對稱軸較遠，
∴當t=4時函數有最大值，所以y_max=8a+17；
②當a≤-

5

2

時，t=-a≥

5

2

，可得t=1距離對稱軸較遠，
當t=1時函數有最大值，所以y_max=2a+2．
綜上所述，當a＞-

5

2

時，F_max=F（2）=8a+17；當a≤-

5

2

時，F_max=F（0）=2a+2．

點評：本題著重考查了函數奇偶性的定義、利用單調性的定義證明函數的單調性、指數函數的性質和二次函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．