拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，C上動點P到直線l：3x+4y-12=0的最短距離為1，求拋物線C的方程．

解：直線l：3x+4y-12=0的斜率k=-，y軸上的截距：3，
拋物線如果開口向上，與直線l會相交，最短距離不會等于1，
所以拋物線開口向下，設(shè)其方程為：x2=2py，
拋物線上到直線l距離最短的點，是平行于l的拋物線的切線m的切點，
最短距離就是切線到l的距離．
設(shè)m的方程為3x+4y+q=0，令m和l的距離=1，
求得q=-7或-17，q=-17在l下方，舍去．所以m：3x+4y-7=0．
與拋物線方程x2=2py聯(lián)立，代入得2x2+3px-7p=0，
只有一個公共點，△=9p2+56p=p（9p+56）=0，得P=-
所以C的方程：x2=2（-）y，
即 9x2+112y=0
分析：根據(jù)直線方程可知直線的斜率和y軸上的截距，拋物線如果開口向上，與直線l會相交，最短距離不會等于1，進(jìn)而可推斷出拋物線開口向下，設(shè)其方程，拋物線上到直線l距離最短的點，是平行于l的拋物線的切線m的切點，最短距離就是切線到l的距離．設(shè)出m的方程，利用點到直線的距離求得q，則m的方程可得．與拋物線方程聯(lián)立利用判別式等于0求得p，則拋物線的方程可得．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．一般是把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用判別式與0的關(guān)系判斷出直線與圓錐曲線的交點．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，C上動點P到直線l：3x+4y-12=0的最短距離為1，求拋物線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F（1，0）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過拋物線C的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則
|AB||FM|
為定值，且定值是2”．判斷它是真命題還是假命題，并說明理；
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于拋物線的一般性命題（注，不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•河西區(qū)三模）拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，若過點M（0，2）任作一條直線交拋物線C于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，且x1x2=-8，則拋物線C的方程為
x2=4y
x2=4y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O，準(zhǔn)線方程是x=-2，過點M（-1，1）的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B
（I）求拋物線C的方程及直線l的斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）求|
AB
|（用k表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•福建模擬）已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在x軸上，且過點（1，2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的一個焦點F1作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則
|AB|
|F1M|
為定值，且定值是
10
3
”．命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線T，過該圓錐曲線焦點F1的弦AB，AB的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點M，AB的長度與F1、M兩點間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個關(guān)于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明．
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于拋物線的一般性命題（不必證明）．

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