已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點F(1,0).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)命題:“過拋物線C的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點M,則
|AB||FM|
為定值,且定值是2”.判斷它是真命題還是假命題,并說明理;
(Ⅲ)試推廣(Ⅱ)中的命題,寫出關于拋物線的一般性命題(注,不必證明).
分析:(Ⅰ)設拋物線C的方程,利用拋物線的焦點F(1,0),確定p的值,從而可得拋物線C的方程;
(Ⅱ)命題是真命題.設直線AB的方程代入y2=4x,利用韋達定理確定線段AB中點的坐標,從而可得線段AB的垂直平分線的方程,進而可得M的坐標,結(jié)合拋物線的定義,即可證得結(jié)論;
(Ⅲ)過拋物線的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點,線段AB的垂直平分線交對稱軸于點M,則
|AB|
|FM|
為定值,且定值是2.
解答:解:(Ⅰ)設拋物線C的方程為y2=2px(p>0);
∵拋物線的焦點F(1,0),
p
2
=1
,∴p=2
∴拋物線C的方程為y2=4x;…(3分)
(Ⅱ)命題是真命題,證明如下:…(4分)
設直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0)
代入y2=4x,消去x得ky2-4y-4k=0,…(5分)
設A(x1,y1)、B(x2,y2),則y1+y2=
4
k
,y1y2=-4
…(6分)
x1+x2=
1
4
(
y
2
1
+
y
2
2
)=
1
4
[(
y
 
1
+
y
 
2
)
2
-2
y
 
1
y
 
2
]=
1
4
(
16
k2
+8)=
4
k2
+2

∴線段AB中點P(
2
k2
+1,
2
k
)
…(7分)
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-
2
k
=-
1
k
(x-
2
k2
-1)

令y=0,解得x=3+
2
k2
,即M(3+
2
k2
,0)
,∴|FM|=
2
k2
+2
…(8分)
由拋物線的定義知|AB|=x1+x2+p=
4
k2
+4
…(9分)
|AB|
|FM|
=2
,證明完畢   …(10分)
(Ⅲ)過拋物線的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點,線段AB的垂直平分線交對稱軸于點M,則
|AB|
|FM|
為定值,且定值是2.…(12分)
(注:如果考生給出“拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點M,則
|AB|
|FM|
為定值,且定值是2”等,照樣給分.)
點評:本題考查拋物線的標準方程,考查直線與拋物線的位置關系,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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(Ⅰ)求拋物線C的方程;
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已知拋物線C的頂點在原點,焦點為F(
1
2
,0)
.(1)求拋物線C的方程; (2)已知直線y=k(x+
1
2
)
與拋物線C交于A、B 兩點,且|FA|=2|FB|,求k 的值; (3)設點P 是拋物線C上的動點,點R、N 在y 軸上,圓(x-1)2+y2=1 內(nèi)切于△PRN,求△PRN 的面積最小值.

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