Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．下列所給出的函數(shù)中不存在“穩(wěn)定區(qū)間”的是（　　）

• A、f（x）=e^x
• B、f（x）=x²
• C、f（x）=cos

  π

  2

  x
• D、f（x）=x

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，即存在區(qū)間M使函數(shù)的定義域與值域均為M．由此對4個函數(shù)逐一加以研究，
可得對于函數(shù)f（x）=x²存在M=[0，1]符合題意；
函數(shù)f（x）=cos

π

2

x存在M=[0，1]符合題意；
而函數(shù)f（x）=e^x不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
f（x）=x有很多穩(wěn)定區(qū)間，

解答： 解：①對于A，因為f（x）=e^x是R上的增函數(shù)，
且e^x＞x恒成立，故不存在區(qū)間M=[a，b]使得當x∈M時值域恰好是M
因此可得．f（x）=e^x．不存在穩(wěn)定區(qū)間．
②f（x）=x²，存在穩(wěn)定區(qū)間[0，1]，
③∵函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴當區(qū)間M=[0，1]時，可得函數(shù)的值域為=M，可得f（x）=cos

π

2

x存在穩(wěn)定區(qū)間[0，1]，
④f（x）=x有很多穩(wěn)定區(qū)間，
故選：A

點評：本題給出函數(shù)“穩(wěn)定區(qū)間”的概念，要我們在幾個函數(shù)中找出存在“穩(wěn)定區(qū)間”函數(shù)的個數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的定義域與值域等知識，屬于中檔題．