Question

【題目】己知函數(shù)在處的切線方程為，函數(shù)．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）設(shè)（表示p，q中的最小值），若在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）求出，然后利用和建立方程組求解即可

（2）求出，然后分和兩種情況討論即可

（3）由于僅有一個(gè)零點(diǎn)1，且恒成立，條件可轉(zhuǎn)化為在上有且僅有兩個(gè)不等于1的零點(diǎn)，然后分、、、四種情況討論.

（1），

因?yàn)?/span>在處的切線方程為，

所以，解得，

所以．

（2）的定義域?yàn)?/span>，，

①若時(shí)，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，無極值．

②若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值．

（3）因?yàn)?/span>僅有一個(gè)零點(diǎn)1，且恒成立，

所以在上有且僅有兩個(gè)不等于1的零點(diǎn)．

①當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞增，

在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去，

②當(dāng)時(shí)，，在無零點(diǎn)，

③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，在僅一個(gè)零點(diǎn)，

④當(dāng)時(shí)，，，所以，

又圖象不間斷，在上單調(diào)遞減，

故存在，使，

又，

下面證明，當(dāng)時(shí)，，，

在上單調(diào)遞增，

所以，，

又圖象在上不間斷，在上單調(diào)遞增，

故存在，使，

綜上可知，滿足題意的k的范圍是．