(本題12分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E, F分別是棱BC,CC1上的點,CF="AB=2CE," AB:AD:AA1=1:2:4.

(Ⅰ)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值;
(Ⅱ)證明AF⊥平面A1ED;
(Ⅲ)求二面角A1-ED-F的正弦值。

(Ⅰ)
(Ⅱ)證明:利用向量證明AF⊥EA1,AF⊥ED.又EA1∩ED=E,推出AF⊥平面A1ED.
(Ⅲ)

解析試題分析:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點A為坐標(biāo)原點.設(shè)AB=1,依題意得D(0,2,0),F(xiàn)(1,2,1),A1(0,0,4),E(1,,0)

(Ⅰ)易得
于是
所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為
(Ⅱ)證明:易知
于是
因此,AF⊥EA1,AF⊥ED.
又EA1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED.
(Ⅲ)設(shè)平面EFD的法向量u=(x,y,z),則      即
不妨令x=1,可得u=(1,2,-1).
由(Ⅱ)可知,為平面A1ED的一個法向量.
于是
從而
所以二面角A1-ED-F的正弦值為
考點:本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,二面角的計算。
點評:典型題,立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,是高考常常考查的內(nèi)容。關(guān)于角的計算通常有兩種思路,一是幾何法,注意“一作、二證、三計算”;二一種思路,是利用空間向量,簡化證明過程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知直三棱柱中,, ,若中點.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求異面直線所成的角.

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(本小題滿分12分)
如圖:四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=,F是BC的中點.

(Ⅰ)求證:DA⊥平面PAC;
(Ⅱ)點G為線段PD的中點,證明CG∥平面PAF;
(Ⅲ)求三棱錐A—CDG的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面是正三角形,且平面⊥底面

(1)求證:⊥平面
(2)求直線與底面所成角的余弦值;
(3)設(shè),求點到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在直三棱柱中,,的中點.

(1)求證:平行平面
(2)求二面角的余弦值;
(3)試問線段上是否存在點,使角?若存在,確定點位置,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)在幾何體ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,F(xiàn)是BC的中點,AB=AC=BE=2,CD=1

(Ⅰ)求證:DC∥平面ABE;
(Ⅱ)求證:AF⊥平面BCDE;
(Ⅲ)求證:平面AFD⊥平面AFE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(10分)用斜二測畫法畫底面半徑為2 cm,高為3 cm的圓錐的直觀圖.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為正三角形,俯視圖為正方形(尺寸如圖所示),E為VB的中點.

(1)求證:VD∥平面EAC;
(2)求二面角A—VB—D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,棱柱的側(cè)面是菱形,.
(Ⅰ)證明:平面平面
(Ⅱ)設(shè)上的點,且平面,求的值.

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