在正方體AC1中,已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點(diǎn).證明:
(1)AB1GE,AB1⊥EH;
(2)A1G⊥平面EFD.

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證明:如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0),D(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(1,1,1)、D1(0,1,1),
由中點(diǎn)性質(zhì)得E(1,1,
1
2
)、F(1,
1
2
,0),G(
1
2
,1,0)、H(
1
2
,
1
2
,1).
(1)則
AB1
=(1,0,1),
GE
=(
1
2
,0,
1
2
),
EH
=(-
1
2
,-
1
2
1
2

AB1
=2
GE
,
AB1
EH
=1×(-
1
2
)+1×
1
2
=0,
AB1
GE
AB1
EH

即AB1GE,AB1⊥EH.
(2)∵
A1G
=(
1
2
,1,-1),
DF
=(1,-
1
2
,0),
DE
=(1,0,
1
2
),
A1G
DF
=
1
2
-
1
2
+0=0,
A1G
DE
=
1
2
+0-
1
2
=0,
∴A1G⊥DF,A1G⊥DE.
又DF∩DE=D,
∴A1G⊥平面EFD.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在正方體AC1中,已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點(diǎn).證明:
(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;
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已知在正方體AC1中,E、F分別是ABAD的中點(diǎn),求下列直線所成的角.

1A1C1BC

2A1C1B1C;

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1A1C1BC;

2A1C1B1C;

3A1C1EF;

 

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