【題目】定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱(chēng)為橢圓的相似比.已知橢圓.
(1)若橢圓,判斷與是否相似?如果相似,求出與的相似比;如果不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)寫(xiě)出與橢圓相似且短半軸長(zhǎng)為的橢圓的方程;若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)相似;相似比為;(2);.
【解析】
(1)分別求出兩個(gè)橢圓的特征三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)2,進(jìn)而求出兩個(gè)橢圓的相似比;
(2)由題意易得與橢圓與橢圓的相似比為1:,進(jìn)而可求得橢圓得長(zhǎng)半軸長(zhǎng),即可得橢圓的方程為;設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線方程和橢圓的方程消元化簡(jiǎn),借助于與的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)和根的判別式大于零,可求得的取值范圍.
(1)由題意知:橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為=2,底邊長(zhǎng)2=2的等腰三角形; 橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為=4,底邊長(zhǎng)2=4的等腰三角形,則由,得兩個(gè)三角形相似,所以可得橢圓與橢圓相似,且相似比為;
(2)由橢圓和橢圓相似,且短半軸長(zhǎng)分別為1和,可得相似比為1:,則可得橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,所以橢圓的方程為:;
由題意設(shè)直線為,點(diǎn)M,N,中點(diǎn)坐標(biāo)為(),
聯(lián)立消元化簡(jiǎn)得:
∴∴,, ∴中點(diǎn)坐標(biāo)為(,)
由中點(diǎn)在直線上,可得=+1,解得=,
由直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得,
代入=解得.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某校今年高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1:2:3,其中體重在的有5人.
(1)求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù);
(2)從該校報(bào)考飛行員的體重在學(xué)生中任選3人,設(shè)表示體重超過(guò)70的學(xué)生人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為棱形,且面,,,,且,分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.
(l)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn),線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,(其中常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最大值為,其圖像相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為,且的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則下列判斷正確的是()
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
B. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C. 當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為
D. 要得到函數(shù)的圖像,只需要將的圖像向右平移個(gè)單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若方程有四個(gè)不等實(shí)根,時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為()
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;
(2)若曲線與曲線,在第一象限分別交于兩點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線:過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)為軸上一點(diǎn),為拋物線上任意一點(diǎn),求的最小值;
(3)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),作相互垂直的兩條弦和,求的最小值.
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