【題目】如圖所示，是村里一個(gè)小湖的一角，其中. 為了給村民營(yíng)造豐富的休閑環(huán)境，村委會(huì)決定在直線湖岸與上分別建觀光長(zhǎng)廊與，其中是寬長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米；是窄長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米；兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)預(yù)算為萬元（恰好都用完）；同時(shí)，在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個(gè)表演舞臺(tái)，并建水上通道（表演舞臺(tái)的大小忽略不計(jì)），水上通道的造價(jià)是元/米.

（1）若規(guī)劃寬長(zhǎng)廊與窄長(zhǎng)廊的長(zhǎng)度相等，則水上通道的總造價(jià)需多少萬元？

（2）如何設(shè)計(jì)才能使得水上通道的總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少萬元？

【答案】（1）水上通道AD的總造價(jià)為萬元；

【解析】

試題分析：

（1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），由題意可得12x=12，即x=1，求得BD，在中，由余弦定理求得AD的長(zhǎng)，即可得到所求造價(jià)；（2）設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為，運(yùn)用余弦定理求得BC，再在與中，由余弦定理及，求得的解析式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值；也可用坐標(biāo)求解．

試題解析：

（1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），則寬長(zhǎng)廊AB造價(jià)為8x萬元，窄長(zhǎng)廊AC造價(jià)為4x 萬元，

故兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為12x萬元，所以12x=12，得x=1，

又，

是邊長(zhǎng)為1的正三角形，

又點(diǎn)D為線段BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以,

在中，由余弦定理得

，

，

又水上通道的造價(jià)是6萬元/百米，所以水上通道的總造價(jià)為萬元.

（2）法一：設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），

則兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為，

即，在中，由余弦定理得

在與中，由余弦定理及，得

,

又，得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，AD有最小值，

故總造價(jià)有最小值萬元，此時(shí)，

即當(dāng)寬長(zhǎng)廊AB為百米（75米）、窄長(zhǎng)廊AC為百米（150米）時(shí)，

所以水上通道AD有最低總造價(jià)為萬元.

法二：由，平方得，以下略.

法三：以A為原點(diǎn)，AP為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

求出D的坐標(biāo)得，以下略.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)從80瓶水中抽取6瓶進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，先將80瓶水編號(hào)，可以編為00,01,02,……，79，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)，例如選出第6行第5列的數(shù)7（下面摘取了附表1的第6行至第10行）。

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28

規(guī)定從選定的數(shù)7開始向右讀， 依次得到的樣本為__________________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠家擬在2016 年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用萬元（）滿足為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售只能是萬件.已知2016 年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為萬元.每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品需要再投入 萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．

（1）將2016 年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2016 年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線與交于、兩點(diǎn)，且OA·OB=2，其中為原點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）點(diǎn)坐標(biāo)為，記直線、的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其指標(biāo)值來衡量，其指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為配方和配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的指標(biāo)值，得到了下面的試驗(yàn)結(jié)果：

配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組

頻數(shù)

8

20

42

22

8

配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組

頻數(shù)

4

12

42

32

10

（Ⅰ）分別估計(jì)用配方，配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

（Ⅱ）已知用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：元）與其指標(biāo)值的關(guān)系式為

估計(jì)用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0的概率，并求用配方生產(chǎn)的上述產(chǎn)品平均每件的利潤(rùn)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某大學(xué)一年級(jí)女生中，選取身高分別是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm的學(xué)生各一名，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表所示：

身高/cm

（）

150

155

160

165

170

體重/kg

（）

43

46

49

51

56

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，計(jì)算身高為168cm時(shí)，體重的估計(jì)值為多少？

參考公式：線性回歸方程，其中，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面是正三角形，與的交點(diǎn)為，又，點(diǎn)是的中點(diǎn)。

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】堯盛機(jī)械生產(chǎn)廠每生產(chǎn)某產(chǎn)品（百臺(tái)），其總成本為（萬元），其中固定成本為萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入（萬元）滿足，假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉，請(qǐng)完成下列問題：

（1）寫出利潤(rùn)函數(shù)的解析式（注：利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；

（2）試問該工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若關(guān)于x的方程x2+x+a=0的一個(gè)根大于1、另一個(gè)根小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．

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