【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個正三角形的三個頂點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，則是正三角形，可得，進(jìn)而將代入橢圓方程，可求出的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，并消去得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，由以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，可得，將其展開并結(jié)合韋達(dá)定理，可求得，即直線恒過點(diǎn)，進(jìn)而，結(jié)合韋達(dá)定理，求出最大值即可.

（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，

則是正三角形，所以，則橢圓方程為.

將代入橢圓方程，可得，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）由題意，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去得.

設(shè)，，則有，，

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，所以，

由，，則，

將，代入上式并整理得，

則，化簡得，

解得或，

因?yàn)橹本�不過點(diǎn)，所以，故.

所以直線恒過點(diǎn).

故，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

所以面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)，過其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)作直線，

（1）若直線與拋物線相切于點(diǎn)，則=_____________.

（2）設(shè)，若直線與拋物線交于點(diǎn)，且，則=_____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）把曲線向下平移個單位，然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍得到曲線（縱坐標(biāo)不變），設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市教育部門為研究高中學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對該市某校200名高中學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動的時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）

平均每天鍛煉的時(shí)間(分鐘)

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

將學(xué)生日均課外體育運(yùn)動時(shí)間在上的學(xué)生評價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

課外體育不達(dá)標(biāo)

課外體育達(dá)標(biāo)

合計(jì)

男

女

20

110

合計(jì)

（2）從上述課外體育不達(dá)標(biāo)的學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人了解他們鍛煉時(shí)間偏少的原因，記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機(jī)變量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計(jì)全市的情況，現(xiàn)在從該市所有高中學(xué)生中，抽取4名學(xué)生，求其中恰好有2名學(xué)生是課外體育達(dá)標(biāo)的概率.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）求的最大值；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值.（參考數(shù)據(jù)，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個正三角形的三個頂點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.

（1）若點(diǎn)的射影在上，求的長；

（2）若點(diǎn)的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的右頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于另一個點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)且斜率大于的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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