Question

15．已知：四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PD的中點，PA=a，∠PDA=45°
（1）求證：AF∥平面PCE；  
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求點D到平面PCE的距離．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點G，連接FG、EG，證出AF∥EG，由線面平行的判定定理，即可證出：AF∥平面PCE．
（2）先證出AF⊥平面PCD，再由（1），可證EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理即可證出平面PCE⊥平面PCD；
（3）過點D作DH⊥PC于H，DH的長為點D到平面PEC的距離．

解答 （1）證明：取PC的中點為G，連結FG、EG
∵FG∥DC，FG=$\frac{1}{2}$DC，DC∥AB，AE=$\frac{1}{2}$AB
∴FG∥AE且 FG=A
∴四邊形AFGE為平行四邊形，
∴AF∥EG．   
又∵AF?平面PCE，EG?平面PCE，
∴AF∥平面PCE…（4分）
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥D，∴PD⊥DC
∴∠PDA為二面角P-CD-B的平面角，∴∠PDA=45°，即△PAD為等腰直角三角形
又∵F為PD的中點，∴AF⊥PD   ①
由DC⊥AD，DC⊥PD，AD∩PD=D，
得：DC⊥平面PAD．
而AF?平面PAD，
∴AF⊥DC  ②
由①②得AF⊥平面PDC．
而EG∥AF
∴EG⊥平面PDC，
又EG?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PDC…（8分）
（3）解：過點D作DH⊥PC于H．
∵平面PCE⊥平面PDC，∴DH⊥平面PEC．
即DH的長為點D到平面PEC的距離．
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=$\sqrt{2}$a
在Rt△PDC中，PD=$\sqrt{2}$a，CD=a，
PC=$\sqrt{3}$a，DH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
即：點D到平面PCE的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$a…（12分）

點評 本題考查線面位置關系，面面位置關系的判定，空間角的求解．考查空間想象能力，轉化思想，計算能力．