【題目】已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若時,求證:對于任意的,均有.
【答案】(1);(2)證明過程見解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù),由二階導(dǎo)數(shù)的符號推出在上單調(diào)遞增,因此求出使的a的取值范圍即可;(2)對函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行討論,證明其最小值非負(fù)即可證明對于任意的,均有.
(1)
,
,
當(dāng)時,,,則,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,
若在上單調(diào)遞增,則在上恒成立,
所以;
(2)由(1)知,,
當(dāng)時,恒成立,
當(dāng)時,,此時;當(dāng)時,,
當(dāng)時,,此時,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
而,則,,,
則函數(shù)在上有且僅有一個零點,設(shè)該零點為,
則時,,時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,
因為,,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,
因為,所以,
因為,所以時,,
即對任意的,均有.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取某校20個班級,調(diào)查各班關(guān)注漢字聽寫大賽的學(xué)生人數(shù),根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖,以組距為5將數(shù)據(jù)分組成時,所作的頻率分布直方圖如圖所示,則原始莖葉圖可能是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線的焦點,點在軸上,為坐標(biāo)原點,且滿足,經(jīng)過點且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)直線與拋物線交于、兩點,若,求點到直線的最大距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:恒成立,則稱此直線的“隔離直線”,已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),有下列命題:
①內(nèi)單調(diào)遞增;
②之間存在“隔離直線”,且b的最小值為;
③之間存在“隔離直線”,且k的取值范圍是;
④之間存在唯一的“隔離直線”.
其中真命題的序號為__________.(請?zhí)顚懻_命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù);蘊含了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息,現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖,其中的4個小圓均過正方形的中心,且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則該點取自黑色部分的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相交于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一個圓上,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,,且,.
(1)證明:平面;
(2)在線段上,是否存在一點,使得二面角的大小為?如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-ABCD中,平面垂直于對角線AC,且平面截得正方體的六個表面得到截面六邊形,記此截面六邊形的面積為S,周長為l,則( )
A. S為定值,l不為定值 B. S不為定值,l為定值
C. S與l均為定值 D. S與l均不為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前,青蒿素作為一線抗瘧藥品得到大力推廣某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響,在山上和山下的試驗田中分別種植了株青蒿進(jìn)行對比試驗.現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機(jī)選取了株青蒿作為樣本,每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位:克)如下表所示:
編號位置 | ① | ② | ③ | ④ |
山上 | ||||
山下 |
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量;
(2)記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為,,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計與的大小關(guān)系(只需寫出結(jié)論);
(3)從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機(jī)選取株,記這株的產(chǎn)量總和為
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