Question

已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），設y₃=18，y₆=12．若數列{y_n}的前n項和S_n有最大值，則這個最大值是

 

，此時n=

 

．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：利用對數的運算法則和等比數列的通項公式可得x_n公比、通項公式，進而得出y_n．再利用等差數列的前n項和公式和二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：∵y₃=18，y₆=12．
∴2log_ax₃=18，2log_ax₆=12，
∴x3=a9，x6=a6．
設等比數列{x_n}的公比為q，
則q3=

x6

x3

=

a6

a9

=

1

a3

．
∴q=

1

a

．
x1=

x3

q2

=a¹¹．
∴xn=a11•(

1

a

)n-1=a12-n．
∴y_n=2log_ax_n=2（12-n）=-2n+24．
∴S_n=

n(22+24-2n)

2

=-n²+23n=-(n-

23

2

)2+

529

4

．
∴當n=11或12時，S_n取得最大值132．
故答案分別為：132，11或12．

點評：本題考查了對數的運算法則和等比數列的通項公式、等差數列的通項公式與前n項和公式、二次函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．