Question

設(shè)不共線的向量

α

，

β

，|

α

|=2，|

β

|=1，則向量

β

與

α

-

β

的夾角的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，由于

α

、

β

不共線，可知|

α

|、|

β

|、|

α

-

β

|可組成三角形．

OA

=

α

，

OB

=

β

，

BA

=

α

-

β

，設(shè)

α

-

β

|=m，可得1＜m＜3．再利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答： 解：如圖所示：設(shè)

OA

=

α

，

OB

=

β

，則

BA

=

α

-

β

，
設(shè)向量

β

與

α

-

β

的夾角為θ，
∵由于

α

、

β

不共線，
可知|

α

|、|

β

|、|

α

-

β

|可組成三角形．
設(shè)|

α

-

β

|=m，可得1＜m＜3．
△OAB中，由余弦定理可得
cos（π-θ）=

| α - β |2+| β |2-| α |2

2| α - β |•| β |

=

m2+1-22

2×m×1

=

m2-3

2m

=

m

2

-

3

2m

∈（-1，1），
∴π-θ∈（0，π），∴θ∈（0，π），
故答案為：（0，π）．

點評：本題考查了向量的三角形法則、余弦定理、基本不等式及其組成三角形的條件等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．