Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x

，當(dāng)x∈N^*時(shí)，f（x）≥f（3）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用不等式恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，求參數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=

x2+a

x

=x+

a

x

，
∴要使當(dāng)x∈N^*時(shí)，f（x）≥f（3）恒成立，
則x+

a

x

≥3+

a

3

，
即x-3≥

x-3

3x

•a，
∵x∈N^*，
∴當(dāng)x=1，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價(jià)為-2≥-

2

3

a，此時(shí)a≥3，
當(dāng)x=2，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價(jià)為-1≥-

1

6

a，此時(shí)a≥6，
當(dāng)x=3，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價(jià)為0≥0，恒成立，
當(dāng)x≥4時(shí)，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價(jià)為1≥

a

3x

，即a≤3x恒成立，
即此時(shí)a≤12，綜上

a≥3 a≥6 a≤12

，解得6≤a≤12，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[6，12]．
故答案為：[6，12]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法是解決此類問(wèn)題的基本方法，注意要對(duì)x進(jìn)行分類討論．