Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=t，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n=a_n•a_n+1．
（1）如果數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求t的取值，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得出n≥2時，2S_n-1=a_n-1•a_n，兩式相減并整理a_n+1-a_n-1=2，利用數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，確定t的取值，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，a₁=t＜a₂＜a₃，得t∈（0，2），再進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（1）由2S_n=a_n•a_n+1知：2S₁=a₁•a₂，則a₂=2．
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=a_n-1•a_n，
則n≥2時，2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2，
如果數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則d=1，則a₁=t=a₂-d=1，
反之，當(dāng)a₁=t=1時，由a₂=2且a_n+1-a_n-1=2易得a_n=n，為等差數(shù)列．
綜上數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列時，t=1，此時a_n=n；
（2）由上知a₁=t，a₂=2，a_n+1-a_n-1=2，
令a₁=t＜a₂＜a₃，得t∈（0，2）
此時a_2k-1=t+2（k-1）=2k-2+t，a_2k=2+2（k-1）=2k，
有a_2k-a_2k-1=2k-（2k-2+t）=2-t＞0，a_2k+1-a_2k=2（k+1）-2+t-2k=t＞0，
即數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
綜上：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列時t∈（0，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推式、考查數(shù)列的項(xiàng)a_n與S_n的關(guān)系，要求熟練掌握．