(本小題滿分14分)已知一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是1或2.首項(xiàng)為1,且在第個(gè)1和第個(gè)1之間有個(gè)2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….記數(shù)列的前項(xiàng)的和為.參考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070
(I)試問第10個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)?
(II)求;
(III)是否存在正整數(shù),使得?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
(I)91(項(xiàng));(II) ;
(III)存在=993+29=1022,使

試題分析:(1)根據(jù)題意將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì),那么結(jié)合已知條件得到前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為
(2)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012項(xiàng)在第45對(duì)中的第32個(gè)數(shù)。
(3)由于前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為,可知結(jié)論。
解:將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì),
為第1對(duì),共項(xiàng);
為第2對(duì),共項(xiàng);……;
為第對(duì),共項(xiàng);
故前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為.        
(I)第10個(gè)1所在的項(xiàng)之前共有9對(duì),所以10個(gè)1為該數(shù)列的
9×(9+1)+1=91(項(xiàng))                              …………3分
(II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012項(xiàng)在第45對(duì)中的第32個(gè)數(shù),從而
  又前2012項(xiàng)中共有45個(gè)1,其余2012-45=1967個(gè)數(shù)均為2,
于是   ……………………7分
(III)前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為,易得,
,
且自第994項(xiàng)到第1056項(xiàng)均為2,而2012-1954=58能被2整除,
故存在=993+29=1022,使.     ……………………14分
點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是先將數(shù)列分組,便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,如分為(1,2),(1,2,2,2),(1,2,2,2,2,2)…,每組的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成數(shù)列2,4,6,…,發(fā)現(xiàn)將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì),則前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為最后數(shù)列分組求和即可。
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1
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
 
A.1              B.2               C.4              D.5

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