已知△ABC中，D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn)，AD、BE交于點(diǎn)G，
BM
=λ
ME
，
DN
=μ
NA
，其中λ，μ＞0，
MN
=t
BC
(t∈R)，S△ABC=1，則S△GMN的取值范圍是（　　）
分析：根據(jù)D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn)，AD、BE交于點(diǎn)G可得G為重心利用重心的性質(zhì)可求出
S△BDG
S△ABC
=
1
2
×BD×GF
1
2
×BC×AH
=
1
6
再根據(jù)S△ABC=1可求出S△BDG=
1
6
再結(jié)合條件
MN
=t
BC
(t∈R)可得出
S△GMN
S△GBD
=(2t)2= 4t2從而可求出s△GMN=
2
3
t2下面只需求出t的范圍即可而
BM
=λ
ME
，
DN
=μ
NA
且λ，μ＞0可知M不可能與E重合所以0＜t＜
1
2
即可求出S△GMN的取值范圍．
解答：解：∵D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn)，AD、BE交于點(diǎn)G
∴G為三角形ABC的重心
過G作GF⊥BC于F，AH⊥BC于H
則Rt△GDE∽Rt△ADF
∴
GF
AH
=
GD
AD
=
1
3

∴
S△BDG
S△ABC
=
1
2
×BD×GF
1
2
×BC×AH
=
1
6

∵S△ABC=1
∴S△BDG=
1
6

∵
MN
=t
BC
(t∈R)
∴MN∥BD且
MN
BD
= 2t
∴
S△GMN
S△GBD
=(2t)2= 4t2
∴s△GMN=
2
3
t2
∵
BM
=λ
ME
，
DN
=μ
NA
其中λ，μ＞0
∴M不可能與E重合
∵
MN
=t
BC
(t∈R)
∴MN∥BD
∵
AE
AC
=
1
2

∴0＜t＜
1
2
，
∴0＜t2＜
1
4

∴0＜
2
3
t2＜
1
6

∴0＜S△GMN＜
1
6

故選D
點(diǎn)評：本題主要考查了向量的數(shù)乘以及向量的幾何意義．解題的關(guān)鍵是根據(jù)重心的性質(zhì)結(jié)合S△ABC=1和
MN
=t
BC
(t∈R)求出s△GMN=
2
3
t2，但根據(jù)
BM
=λ
ME
，
DN
=μ
NA
且λ，μ＞0可知M不可能與E重合求出0＜t＜
1
2
則是最為重要的！
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：

（1）∥；

（2）＝0.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1-24,已知△ABC中,點(diǎn)D在CA延長線上,且,E為BC中點(diǎn),DE交AB于F,過點(diǎn)F引直線MN⊥DE,P為MN上一點(diǎn).?

求證:PD =PE.

圖1-24

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如下圖所示，已知△ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：

 

 

（1）DE∥AB；

（2）DE=AB；

（3）++=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知△ABC中，D、E、F分別是、、的中點(diǎn)，

求證：(1)DE∥AB；

(2)DE=AB;

(3)++=0.

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