Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD= ，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A為坐標原點，以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A﹣xyz如圖，

由題可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

∵AD⊥平面PAB，∴ =（0，2，0），是平面PAB的一個法向量，

∵ =（1，1，﹣2）， =（0，2，﹣2），

設平面PCD的法向量為 =（x，y，z），

由 ，得 ，

取y=1，得 =（1，1，1），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴平面PAB與平面PCD所成兩面角的余弦值為

（2）解：∵ =（﹣1，0，2），設 =λ =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），

又 =（0，﹣1，0），則 = + =（﹣λ，﹣1，2λ），

又 =（0，﹣2，2），從而cos＜ ， ＞= = ，

設1+2λ=t，t∈[1，3]，

則cos2＜ ， ＞= = ≤ ，

當且僅當t= ，即λ= 時，|cos＜ ， ＞|的最大值為 ，

因為y=cosx在（0， ）上是減函數，此時直線CQ與DP所成角取得最小值．

又∵BP= = ，∴BQ= BP=

【解析】以A為坐標原點，以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A﹣xyz．（1）所求值即為平面PAB的一個法向量與平面PCD的法向量的夾角的余弦值的絕對值，計算即可；（2）利用換元法可得cos2＜ ， ＞≤ ，結合函數y=cosx在（0， ）上的單調性，計算即得結論．