【題目】已知首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an2< ,n∈N* , Sn為數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若a2= ,a3=x,a4=4,求x的取值范圍;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若 <Sn+1<2Sn , n∈N* , 求q的取值范圍;
(3)若a1 , a2 , …,ak(k≥3)成等差數(shù)列,且a1+a2+…+ak=120,求正整數(shù)k的最小值,以及k取最小值時相應數(shù)列a1 , a2 , …,ak .
【答案】
(1)解:∵首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an2< ,n∈N*,化為(2an+1﹣an)(an+1﹣2an)<0,
∴ <2.
又a2= ,a3=x,a4=4,
∴ , ,
解得:2<x<3.
∴x的取值范圍是(2,3)
(2)解:由于首項為1的正項數(shù)列{an},
∵ <2.∴ .
①q=1時,n=1時不滿足: <Sn+1<2Sn,n∈N*,因此q≠1.
②可得 <2 ,
<q<1時,化為2qn+1﹣qn<1,qn+1﹣2qn+1>0,由于qn(2q﹣1)<1,因此2qn+1﹣qn<1恒成立;由qn<q,可得q2n<qn+1,∴qn ,∴2qn <1+qn+1,因此qn+1﹣2qn+1>0恒成立,可得: <q<1.
2>q>1時,化為2qn+1﹣qn﹣1>0,qn+1﹣2qn+1<0,無解,舍去.
綜上可得: <q<1
(3)解:設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,
由 <2,可得 < <2,
化為1+(n﹣1)d<2(1+nd)<4[1+(n﹣1)d],
n=1時,0≤d<1;n=2時,d≥0;
n≥3時,d≥0.
綜上可得:0≤d<1.
∵a1,a2,…,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,
∴k+ d=120,
k=1時,不成立,舍去.
k≥2時,解得d= ,
∵0≤d<1.
∴0≤ <1.
解得:15<k≤120.
∴滿足條件的正整數(shù)k的最小值為16,此時d= ,
相應數(shù)列的通項公式為:an=1+ (n﹣1)= .
數(shù)列為:1,
【解析】(1)首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an2< ,n∈N* , 化為(2an+1﹣an)(an+1﹣2an)<0,解得: <2.又a2= ,a3=x,a4=4,代入解出即可得出.(2)由于首項為1的正項數(shù)列{an},由于 <2.可得 .對q分類討論:q=1時,n=1時不滿足條件,因此q≠1.②由 <2 , <q<1時,經(jīng)過驗證成立: <q<1.2>q>1時,化為2qn+1﹣qn﹣1>0,qn+1﹣2qn+1<0不成立,舍去.(3)設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,由 <2,化為1+(n﹣1)d<2(1+nd)<4[1+(n﹣1)d].分類討論:n=1時,n=2時,n≥3時,可得:0≤d<1.根據(jù)a1 , a2 , …,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,可得k+ d=120,k=1時,不成立,舍去.k≥2時,解得d= ,代入解得:15<k≤120.即可得出.
【考點精析】通過靈活運用等比數(shù)列的通項公式(及其變式)和數(shù)列的前n項和,掌握通項公式:;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知⊙M:(x+1)2+y2= 的圓心為M,⊙N:(x﹣1)2+y2= 的圓心為N,一動圓M內(nèi)切,與圓N外切. (Ⅰ)求動圓圓心P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)A,B分別為曲線P與x軸的左右兩個交點,過點(1,0)的直線l與曲線P交于C,D兩點.若 =12,求直線l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函數(shù),g(x)= 是奇函數(shù),那么a+b的值為( )
A.1
B.﹣1
C.﹣
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為1,圓心角為 的圓弧 上有一點C.
(1)若C為圓弧AB的中點,點D在線段OA上運動,求| |的最小值;
(2)若D,E分別為線段OA,OB的中點,當C在圓弧 上運動時,求 的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且 = ,a1=m,現(xiàn)有如下說法: ①a2=5;
②當n為奇數(shù)時,an=3n+m﹣3;
③a2+a4+…+a2n=3n2+2n.
則上述說法正確的個數(shù)為( )
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1 . 求證:
(1)直線DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)點Q是線段BP上的動點,當直線CQ與DP所成的角最小時,求線段BQ的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣4x+1.
( I)當x∈[0,3]時,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象并寫出值域;
(II)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào),求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com