Question

【題目】已知函數(shù)（），．

（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，

①求函數(shù)在上的值域；

②求證：，其中，．（參考數(shù)據(jù)）

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) ①；②見(jiàn)解析.

【解析】試題分析: （1）先求導(dǎo)數(shù)，再研究導(dǎo)函數(shù)符號(hào)：當(dāng)時(shí)，恒為正；當(dāng)時(shí)，有正有負(fù)，根據(jù)符號(hào)規(guī)律確定單調(diào)區(qū)間，（2）①易得函數(shù)在單調(diào)性：先減后增，故在極小值點(diǎn)處取最小值，最大值為兩端點(diǎn)值的較大值，②由所證不等式的結(jié)構(gòu)知，先研究數(shù)列求和：令，可得，再比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)大小：,這樣轉(zhuǎn)化為證明不等式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，即可證得.

試題解析:（1）∵．

①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，得，即，

∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）時(shí)，．

①由，令，

∴在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且由，，

∴值域?yàn)?/span>．

②由，設(shè)為前項(xiàng)和，，

則，

設(shè)，，

在單調(diào)遞減，，∴，

∴，即時(shí)，，

∴，故原不等式成立．