【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx)+a,g(x)=(a2﹣a+10)ex(a為常數(shù)).
(1)已知a=0,求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)0≤x≤π時,求f(x)的值域;
(3)若存在x1、x2∈[0,π],使得|f(x1)﹣g(x2)|<13﹣e 成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=0時,f(x)=ex(sinx+cosx),

f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx﹣sinx)=2excosx,

∴f′(0)=2,f(0)=1,

∴切線方程為:y﹣1=2(x﹣0),即2x﹣y﹣1=0為所求的切線方程


(2)解:由f′(x)=2excosx≥0,得0≤x≤ ,f′(x)=2excosx≤0,得 ≤x≤π.

∴y=f(x)在[0, ]上單調(diào)遞增,在[ ,π]上單調(diào)遞減.

∴ymax=f( )= +a.

f(0)=1+a,f(π)=﹣eπ+a<f(0),ymin=f(π)=﹣eπ+a,

∴f(x)的值域為[﹣eπ+a, +a]


(3)解:∵a2﹣a+10>0,∴g(x)在[0,π]上是增函數(shù),

g(0)=a2﹣a+10,g(π)=(a2﹣a+10)eπ

∴g(x)的值域為[a2﹣a+10,(a2﹣a+10)eπ].

∵a2﹣a+10﹣( +a)=(a﹣1)2+(9﹣ )>0,

依題意,a2﹣a+10﹣( +a)<13﹣ ,

即a2﹣2a﹣3<0,解得:﹣1<a<3


【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到函數(shù)在x=0時的導(dǎo)數(shù),再求出f(0),然后利用直線方程的點斜式得答案;(2)由原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求得原函數(shù)的極大值點,得到函數(shù)的最大值,再求出端點值得答案;(3)由a2﹣a+10>0,得g(x)在[0,π]上是增函數(shù),從而求得g(x)的值域.由題意得到a2﹣a+10﹣( +a)<13﹣ ,求解關(guān)于a的不等式得答案.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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測試指標(biāo)

[70,76)

[76,82)

[82,88)

[88,94)

[94,100]

芯片甲

8

12

40

32

8

芯片乙

7

18

40

29

6

(Ⅰ)試分別估計芯片甲,芯片乙為合格品的概率;
(Ⅱ)生產(chǎn)一件芯片甲,若是合格品可盈利40元,若是次品則虧損5元;生產(chǎn)一件芯片乙,若是合格品可盈利50元,若是次品則虧損10元.在(I)的前提下,
(i)記X為生產(chǎn)1件芯片甲和1件芯片乙所得的總利潤,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ii)求生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元的概率.

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C.
D.y=﹣cotx

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A.
B.
C.
D.

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(Ⅰ)現(xiàn)對該市市民進行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查,采用隨機抽樣的方法,抽取一個容量為200的樣本,請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù),補全下列2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗,判斷能有多大把握可以認為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)?
使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表

年輕人

非年輕人

合計

經(jīng)常使用共享單車用戶

120

不常使用共享單車用戶

80

合計

160

40

200

(Ⅱ)將頻率視為概率,若從該市市民中隨機任取3人,設(shè)其中經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與期望.
(參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

其中,K2= ,n=a+b+c+d)

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