Question

已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y，則x+y的取值范圍是

[4，+∞）

．

Answer 1

分析：利用對數(shù)式的運算性質(zhì)把給出的等式變形，去掉對數(shù)符號后利用基本不等式轉(zhuǎn)化為關于（x+y）的二次不等式，求解后即可得到x+y的取值范圍．

解答：解：由log₂（x+y）=log₂x+log₂y，得：log₂（x+y）=log₂xy （x＞0，y＞0），
∴x+y=xy，
∵x＞0，y＞0，∴xy≤(

x+y

2

)2=

(x+y)2

4

，
則(x+y)≤

(x+y)2

4

，解得：x+y≤0（舍），或x+y≥4．
所以，x+y的取值范圍是[4，+∞）．
故答案為[4，+∞）．

點評：本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了基本不等式，運用了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，訓練了一元二次不等式的解法，是中檔題．