正方體ABCD-A1B1C1D1中,長度為定值的線段EF在線段B1D1上滑動,現(xiàn)有五個命題如下:
①AC⊥BE;
②EF平面A1BD;
③直線AE與BF所成角為定值;
④直線AE與平面BD1所成角為定值;
⑤三棱錐A-BEF的體積為定值.
其中正確命題序號為______.
①正確.如圖1所示,連接BD,由正方體ABCD-A1B1C1D1中可得AC⊥BD,BB1⊥AC,BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BE;
②正確.如圖圖2所示,∵B1D1BD,B1D1?平面A1BD,而BD?平面A1BD,∴EF平面A1BD;
③不正確.如圖3所示,建立空間直角坐標系,不妨設正方體的棱長為1,|EF|=m,F(a,b,1),
則E(a+
2
2
m,b+
2
2
m,1)
.又A(1,0,0),B(1,1,0).
AE
=(a+
2
2
m-1,b+
2
2
m,1)
,
BF
=(a-1,b-1,1),
cos<
AE
,
BF
=
AE
BF
|
AE
||
BF
|
=
(a+
2
2
m-1)(a-1)+(b+
2
2
m)(b-1)+1
(a+
2
2
m-1)2+(b+
2
2
m)2+1
(a-1)2+(b-1)2+1
,與a,b的取值有關系.
④如圖3所示,取對角面BD1的法向量為
AC
=(-1,1,0)

設AE與平面BD1所成的角為θ,則sinθ=|cos<
AE
,
n
>|
=
|
AE
n
|
|
AE
||
n
|
=
|1-a-
2
2
m+b+
2
2
m|
(a+
2
2
m-1)2+(b+
2
2
m)2+1
2
與a,b的取值有關系;
⑤正確.由①可知:AC⊥平面BDD1B1,∴點A到平面BEF的距離=
1
2
|AC|
,而△BEF的面積=
1
2
|EF||BB1|
,∴VA-BEF=
1
3
×
1
2
|AC|•
1
2
|EF||BB1|
,又|AC|,|EF|,|BB1|都為定值,因此三棱錐A-BEF的體積為定值.
綜上可知:正確答案為①②⑤.
故答案為①②⑤.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

給出下列命題:
①若ab>0,a>b,則
1
a
1
b
;
②若a>|b|,則a2>b2;
③若a>b,c>d,則a-c>b-d;
④若a<b,m>0,則
a
b
a+m
b+m

其中真命題的序號是:______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

下列說法正確的是( 。
①原命題為真,它的否命題為假
②原命題為真,它的逆命題不一定為真
③一個命題的逆命題為真,它的否命題一定為真
④一個命題的逆否命題為真,它的否命題一定為真.
A.①②B.②③C.③④D.②③④

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

給出下列四個命題:
(1)平面內的一條直線與平面外的一條直線是異面直線;
(2)若三個平面兩兩相交,則這三個平面把空間分成7部分;
(3)用一個面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫棱臺;
(4)一條直線與兩條異面直線中的一條直線相交,那么它和另一條直線可能相交、平行或異面.
其中真命題的個數(shù)是( 。
A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

若命題“?x∈R,x2+ax+1≥0”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

在下列命題中:
①若
a
、
b
共線,則
a
b
所在的直線平行;
②若
a
、
b
所在的直線是異面直線,則
a
、
b
一定不共面;
③若
a
、
b
、
c
三向量兩兩共面,則
a
、
b
c
三向量一定也共面;
④已知三向量
a
b
、
c
,則空間任意一個向量
p
總可以唯一表示為
p
=x
a
+y
b
+z
c

其中真命題的個數(shù)為( 。
A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+
1
2x

(1)判斷f(x)為奇偶性;
(2)證明f(x)函數(shù)在[0,+∞)上單調遞增.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

下列說法:
①函數(shù)f(x)=lnx+3x-6的零點只有1個且屬于區(qū)間(1,2);
②若關于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,則a∈(0,1);
③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個不同的交點;
④函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,
π
4
]
的最小值是1.
正確的有______.(請將你認為正確的說法的序號都寫上)

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知下列命題:
①命題“若x≠1,則x2-3x+2≠0”的逆否命題是“若x2-3x+2=0,則x=1”
②命題p:?x∈R,x2+x+1≠0,則?p:?x∈R,x2+x+1=0.
③若p∨q為真命題,則p,q均為真命題
④“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件
其中,真命題的個數(shù)有( 。
A.4個B.3個C.2個D.1個

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同步練習冊答案