【題目】已知橢圓: (為參數(shù)),是上的動點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)的極坐標(biāo)為
(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡的普通方程;
(2)證明:為定值,并求面積的最大值。
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)依據(jù)點(diǎn)DA、的直角坐標(biāo),求出線段AD的中點(diǎn),消去參數(shù)得M的軌跡E的普通方程;(2)橢圓C的極坐標(biāo)方程為:,;設(shè)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+), ,△AOB面積由均值不等式得到結(jié)果.
(1)n 點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為(﹣2,﹣2),由題意設(shè)A(3cos,sin),
∴線段AD的中點(diǎn),∴點(diǎn)M的參數(shù)方程為:,消去參數(shù):.
M的軌跡E的普通方程:;
(2)橢圓C的普通方程為:,化為極坐標(biāo)方程為:,
∵OA⊥OB,∴設(shè)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)
即+==(定值)
△AOB面積,因?yàn)?/span>
故面積的最大值為:.
△AOB面積的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課。每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事,分享他們對于生活和生命的感悟,給予中國青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng),討論青年們的人生問題,同時也在討論青春中國的社會問題,受到青年觀眾的喜愛,為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度,電視臺隨機(jī)調(diào)查了兩個地區(qū)的名觀眾,得到如下的列聯(lián)表:
已知在被調(diào)查的名觀眾中隨機(jī)抽取名,該觀眾是地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為,且.
(1)現(xiàn)從名觀眾中用分層抽樣的方法抽取名進(jìn)行問卷調(diào)查,則應(yīng)抽取“滿意”的地區(qū)的人數(shù)各是多少.
(2)完成上述表格,并根據(jù)表格判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.
(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率,從地區(qū)隨機(jī)抽取人,設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為,求的分布列和期望.
附:參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某單位的食堂中,食堂每天以元/斤的價格購進(jìn)米粉,然后以4.4元/碗的價格出售,每碗內(nèi)含米粉0.2斤,如果當(dāng)天賣不完,剩下的米粉以2元/斤的價格賣給養(yǎng)豬場.根據(jù)以往統(tǒng)計資料,得到食堂某天米粉需求量的頻率分布直方圖如圖所示,若食堂某天購進(jìn)了80斤米粉,以(單位:斤)(其中)表示米粉的需求量, (單位:元)表示利潤.
(Ⅰ)計算當(dāng)天米粉需求量的平均數(shù),并直接寫出需求量的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ) 將表示為的函數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)直方圖估計該天食堂利潤不少于760元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某市主辦的科技知識競賽的學(xué)生成績中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績作為樣本,已知這40名學(xué)生的成績?nèi)吭?0分至100分之間,現(xiàn)將成績按如下方式分成6組,第一組;第二組;…;第六組,并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù);
(2)從成績大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2名,求至少有1名學(xué)生的成績在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著快遞行業(yè)的崛起,中國快遞業(yè)務(wù)量驚人,2018年中國快遞量世界第一,已連續(xù)五年突破五百億件,完全超越美日歐的總和,穩(wěn)居世界第一名.某快遞公司收取費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是:不超過1kg的包裹收費(fèi)8元;超過1kg的包裹,在8元的基礎(chǔ)上,每超過1kg(不足1kg,按1kg計算)需再收4元.
該公司將最近承攬(接收并發(fā)送)的100件包裹的質(zhì)量及件數(shù)統(tǒng)計如下(表1):
表1:
公司對近50天每天承攬包裹的件數(shù)(在表2中的“件數(shù)范圍”內(nèi)取的一個近似數(shù)據(jù))、件數(shù)范圍及天數(shù),列表如下(表2):
表2:
(1)將頻率視為概率,計算該公司未來3天內(nèi)恰有1天攬件數(shù)在100~299之間的概率;
(2)①根據(jù)表1中最近100件包裹的質(zhì)量統(tǒng)計,估計該公司對承攬的每件包裹收取快遞費(fèi)的平均值:
②根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤,其余用作其他費(fèi)用.目前,前臺有工作人員5人,每人每天攬件數(shù)不超過100件,日工資80元.公司正在考慮是否將前臺人員裁減1人,試計算裁員前、后公司每天攬件數(shù)的數(shù)學(xué)期望;若你是公司決策者,根據(jù)公司每天所獲利潤的期望值,決定是否裁減前臺工作人員1人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)分組后的頻率分布表:
分組 | [8.5,11.5] | [11.5,14.5] | [14.5,17.5] | [17.5,20.5] |
頻數(shù) | 4 | 2 | 6 | 8 |
(I)若用組中值代替本組數(shù)據(jù)的平均數(shù),請計算樣本的平均數(shù);
(II)以頻率估計概率,若樣本的容量為2000,求在分組[14.5,17.5)中的頻數(shù);
(Ⅲ)若從數(shù)據(jù)在分組[8.5,11.5)與分組[11.5,14.5)的樣本中隨機(jī)抽取2個,求恰有1個樣本落在分組[11.5,14.5)的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知它們在處的切線互相平行.
(1)求的值;
(2)若函數(shù),且方程有且僅有四個解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱中,底面邊長為2,為的中點(diǎn),三棱柱的體積.
(1)求三棱柱的表面積;
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
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