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(12分)
已知四棱錐中,平面,底面是直角梯形,的重心,的中點,上,且;

(1)求證:;
(2)當二面角的正切值為多少時,
平面;
(3)在(2)的條件下,求直線與平面成角
的正弦值;

(1)略
(2) 當二面角P-CD-A的正切值為2時,FG⊥平面AEC
(3)
(1)連結CG并延長交PA于H,連結BH
∵G是△PAC的重心    ∴CG:GH="2:1  "
∵CF:FB="2:1   " ∴CG:GH=CF:FB   ∴FG∥BH
∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥AC   ∴AC⊥平面PAB
∴    AC⊥BH  ∵FG∥BH  ∴FG⊥AC ------------4分
(2)如圖所示,以A為坐標原點建立空間直角坐標系

∵AB=AC=2且AB⊥AC ∴∠ACB=45° 在直角梯形ABCD中  
∵∠BCD=90°   ∴∠ACD=45°∵AC="2   " ∴AD=CD=   
∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥CD   ∵CD⊥AD   ∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD   ∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面
∴A(0,0,0)  C(,,0)  D(0,,0)  B(,,0)
設P(0,0,) ∴H(0,0,)  E(,,)  
∵FG⊥平面AEC   ∴FG⊥AE∵FG∥BH   ∴BH⊥AE
=(,,)   =(,,)
   ∴   ∴PA= 
∠PDA="2 " ∴當二面角P-CD-A的正切值為2時,FG⊥平面AEC   ------8分
(3)∵BH∥FG   ∴FG與平面PBC所成的角等于BH與平面PBC所成的角
=(,) =(0,,0) =(,
設平面PBC的法向量=(x,y,z)   ∴   ∴ 令z="1 " ∴=(2,0,1)
   設直線FG與平面PBC所成的角為
   ∴直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為 --12分
練習冊系列答案
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②若直線m,n與平面所成的角相等,則m∥n;
③存在異面直線m,n,使得m∥,m//,n∥β,則//;
④若,則m∥n.
A.1B.2C.3D.4

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