Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，且a≠1，t∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)t=4，x∈（0，+∞），且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2時，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1，x∈（0，+∞）時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）t=4，化簡F（x）=g（x）-f（x）通過最小值2，列出不等式組，即可求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1，x∈（0，+∞）時，有f（x）≥g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為t≥-2x+

x

+2在（0，+∞）上恒成立，通過構(gòu)造二次函數(shù)，求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）t=4時，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax
=loga

4(x+1)2

x

=loga4(x+

1

x

+2)，(x＞0)
∵4(x+

1

x

+2)的最小值為16，而F（x）有最小值2
∴

a＞1 loga16=2

∴a=4                                                            （5分）
（Ⅱ）0＜a＜1時，log_ax≥2log_a（2x+t-2）恒成立，
即x≤（2x+t-2）²在（0，+∞）上恒成立，
即

x

≤2x+t-2在（0，+∞）上恒成立，
即t≥-2x+

x

+2在（0，+∞）上恒成立，
記

x

=m(m＞0)，h(m)=-2m2+m+2
因為h（m）的最大值為

17

8

．
要使t≥h（m）恒成立，只需t≥

17

8

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的恒成立，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．