Question

如圖，設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)D在橢圓上，DF₁⊥F₁F₂，

丨F1F2丨

丨DF1丨

=2

2

，△DF₁F₂的面積為

2

2

．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直并分別過不同的焦點(diǎn)？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），依題意，可求得c=1，易求得|DF₁|=

|F1F2|

2 2

=

2

2

，|DF₂|=

3 2

2

，從而可得2a=2

2

，于是可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓

x2

2

+y²=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是兩個(gè)交點(diǎn)，依題意，利用圓和橢圓的對(duì)稱性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，由F₁P₁⊥F₂P₂，得x₁=-

4

3

或x₁=0，分類討論即可求得圓心及半徑，從而可得圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c²=a²-b²，
由

丨F1F2丨

丨DF1丨

=2

2

，得|DF₁|=

|F1F2|

2 2

=

2

2

c，
從而S△DF1F2=

1

2

|DF₁||F₁F₂|=

2

2

c²=

2

2

，故c=1．
從而|DF₁|=

2

2

，由DF₁⊥F₁F₂，得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=

9

2

，
因此|DF₂|=

3 2

2

，
所以2a=|DF₁|+|DF₂|=2

2

，故a=

2

，b²=a²-c²=1，
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓

x2

2

+y²=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是兩個(gè)交點(diǎn)，


y₁＞0，y₂＞0，F(xiàn)₁P₁，F(xiàn)₂P₂是圓C的切線，且F₁P₁⊥F₂P₂，由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，
由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），所以

F1P1

=（x₁+1，y₁），

F2P2

=（-x₁-1，y₁），再由F₁P₁⊥F₂P₂，得-(x1+1)2+y12=0，
由橢圓方程得1-

x12

2

=(x1+1)2，即3x12+4x₁=0，解得x₁=-

4

3

或x₁=0．
當(dāng)x₁=0時(shí)，P₁，P₂重合，此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在；
當(dāng)x₁=-

4

3

時(shí)，過P₁，P₂，分別與F₁P₁，F(xiàn)₂P₂垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C，設(shè)C（0，y₀）
由F₁P₁，F(xiàn)₂P₂是圓C的切線，知CP₁⊥F₁P₁，得

y1-y0

x1

•

y1

x1+1

=-1，而|y₁|=|x₁+1|=

1

3

，
故y₀=

5

3

，
故圓C的半徑|CP₁|=

(- 4 3 )2+( 1 3 - 5 3 )2

=

4 2

3

．
綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，其方程為x²+(y-

5

3

)2=

32

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查化歸思想、方程思想分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．