Question

【題目】已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓：上，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)為直線(xiàn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）若點(diǎn)在第二象限，且相應(yīng)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)：都相切，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先看動(dòng)點(diǎn)有什么性質(zhì)？由中垂線(xiàn)得，從而，是常數(shù)，因此點(diǎn)軌跡是橢圓，且是焦點(diǎn)，因此易得的方程；（2）直線(xiàn)是橢圓和拋物線(xiàn)的公切線(xiàn)，因此設(shè)方程為，由它與橢圓相切（代入橢圓方程，判別式為0）可得一個(gè)等式，同樣由它與拋物線(xiàn)相切又可得一個(gè)等式，聯(lián)立后可解得，注意在第二象限，可得唯一解，再關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)可求得點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）圓的圓心為，半徑，連結(jié)，

∵在的中垂線(xiàn)上，∴，

∴

∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，

∴，；，；，

∴曲線(xiàn)的方程為.

（2）∵直線(xiàn)與橢圓和拋物線(xiàn)都相切，∴直線(xiàn)斜率一定存在，設(shè)： ①，

①代入，得，

由，得 ②.

有把①代入，得，

由，得 ③.

由② ③解得

設(shè)，∵在第二象限，∴，

注意與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，∴，∴，∴：，

則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)在圓上，故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.