Question

【題目】已知函數(shù)y＝f（x）＝。

（1）求y＝f（x）的最大值；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)a>0，求函數(shù)F（x）＝af（x）在[a，2a]上的最小值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

試題（1）令＝0，求得極值點(diǎn)，因此可得到單調(diào)區(qū)間，從而得到最大值；

（2）根據(jù)（1）可知F（x）的單調(diào)性，得到F（x）在[a，2a]上的最小值為F（a）和F（2a）之中的較小者，作差討論即可得到結(jié)果.

試題解析：（1）＝.

令＝0得x＝e.

因?yàn)楫?dāng)x∈（0，e）時(shí)，>0，f（x）在（0，e）上為增函數(shù)；

當(dāng)x∈（e，＋∞）時(shí)，<0，f（x）在（e，＋∞）上為減函數(shù)，

所以f（x）max＝f（e）＝。

（2）因?yàn)?/span>a＞0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上單調(diào)遞增，

在（e，＋∞）上單調(diào)遞減，

所以F（x） 在[a，2a]上的最小值F（x）min＝min{F（a），F（2a）}。

因?yàn)?/span>F（a）－F（2a）＝，

所以當(dāng)0<a≤2時(shí)，F（a）－F（2a）≤0，F（x）min＝F（a）＝ln a，

當(dāng)a>2時(shí)，F（a）－F（2a）>0，F（x）min＝F（2a）＝ln2a