Question

平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為2，且兩兩夾角為60°，則DB₁和C₁A₁所成角大小為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，則兩兩夾角為60°，且模均為2.|

DB1

|=

( a - b + c )2

=2

6

，|

C1A1

|=

(- a - b )2

=2

2

，

DB1

•

C1A1

=（

a

-

b

+

c

）•（

a

-

b

）=4，設(shè)DB₁和C₁A₁所成角為θ，cosθ=|cos＜

DB1

，

C1A1

＞|=

| DB1 • C1A1 |

| DB1 |•| C1A1 |

，由此能求出DB₁和C₁A₁所成角大�。�

解答： 解：設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，則兩兩夾角為60°，且模均為2．
∵

DB1

=

a

-

b

+

c

，

C1A1

=-

a

-

b

，
∴|

DB1

|=

( a - b + c )2

=

4+4+4+2×2×2× 1 2 +2×2×2× 1 2 +2×2×2× 1 2

=2

6

，
|

C1A1

|=

(- a - b )2

=

a2+b2+2 a • b

=

2+2+2×2×2× 1 2

=2

2

，

DB1

•

C1A1

=（

a

-

b

+

c

）•（

a

-

b

）
=

a

2+

b

2-2

a

•

b

+

a

•

c

-

b

•

c

=4+4-4+2-2
=4，
設(shè)DB₁和C₁A₁所成角為θ，
cosθ=|cos＜

DB1

，

C1A1

＞|=

| DB1 • C1A1 |

| DB1 |•| C1A1 |

=

4

2 6 ×2 2

=

3

6

，
∴θ=arccos

3

6

．
故答案為：arccos

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線所成角的余弦值的計(jì)算，考查空間兩點(diǎn)之間的距離運(yùn)算，根據(jù)已知條件，構(gòu)造向量，將空間兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為向量模的運(yùn)算，是解答本題的關(guān)鍵．