Question

如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（1）求證：AD⊥BM；
（2）點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角A-EM-D大小為

π

3

時(shí)，試求

DE

DB

的值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AM于點(diǎn)O，利用面面垂直的性質(zhì)，證明DO⊥平面ABCM，進(jìn)而證明BM⊥平面ADM，即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)D做EM的垂線交EM于T，連接AT，則可知∠DTA就是所求的平面角，利用△DEM～△DMB，即可求

DE

DB

的值．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AM于點(diǎn)O，
因?yàn)锳B=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)，所以AM=AD，所以O(shè)為AM中點(diǎn)．
因?yàn)槠矫鍭DM⊥平面ABCM，所以DO⊥平面ABCM，所以DO⊥BM，
又因?yàn)?span id="g0agkge" class="MathJye">AM=BM=

2

，AB=2，所以△ABM為等腰直角三角形，
所以AM⊥BM，且AM∩DO=O，
所以BM⊥平面ADM，所以AD⊥BM；
（2）解：因?yàn)锳D⊥BM，且AD⊥DM，所以AD⊥平面BMD，
過(guò)點(diǎn)D做EM的垂線交EM于T，連接AT，則可知∠DTA就是所求的平面角，所以∠DTA=

π

3

，
因?yàn)?span id="cso4m6m" class="MathJye">DT=

3

3

，所以sin∠DME=

3

3

．
又因?yàn)?span id="e0ysoi0" class="MathJye">sin∠MBD=

3

3

，所以△DEM～△DMB，
解得DE=

3

3

，所以

DE

DB

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．