設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)·f(1)＞0.求證：

(Ⅰ)方程f(x)=0有實根；

(Ⅱ)-2＜＜-1;

(Ⅲ)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實根，則≤|x1-x2|＜.

證明：(Ⅰ)若a=0,則b=-c,f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0與已知矛盾，∴a≠0,方程3ax2+2bx+c=0的判別式Δ=4(b2-3ac),由條件a+b+c=0,消去b得Δ=4(a2+c2-ac)=4［(a-c)2+c2］＞0.

    故方程f(x)=0有實根.

(Ⅱ)由f(0)·f(1)＞0得，c(3a+2b+c)＞0,由條件a+b+c=0消去C得(a+b)(2a+b)＜0,因a2＞0,∴(+1)(+2)＜0.

    故-2＜＜-1.

(Ⅲ)由條件知：x1+x2=-，x1-x2==-.

    所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(+)2+,

    因為-2＜＜-1,所以≤(x1-x2)2＜,

    故≤|x1-x2|＜.


練習(xí)冊系列答案
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設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0

求證：（1）a>0，－2<<－1

（2）函數(shù)f(x)在（0，1）內(nèi)有零點。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0.f(0)＞0，f(1)＞0，

求證： (Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.

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設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)＞0,f(1)＞0,求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實根.

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(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(20)設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)＞0，求證：

    (Ⅰ)方程f(x)=0有實根；

    (Ⅱ)-2＜＜-1；

    (Ⅲ)設(shè)x1，x2是方程f(x)=0的兩個實根，則≤|x1-x2|＜．

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