如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=
1
2
PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線OD與平面PBC所成角的大�。�
方法一：
（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC中點，
∴OD∥PA又PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC．取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，則OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．在Rt△ODF中，sin∠ODF=
OF
OD
=
210
30
，
∴OD與平面PBC所成的角為arcsin
210
30
．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖），設AB=a，則A(
2
2
a，0，0)，B(0，
2
2
a，0)，C(-
2
2
a，0，0)
設OP=h，則P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D為PC的中點，
∴
OD
=(-
2
4
a，0，
1
2
h)，又
PA
=(
2
2
a，0，-h)，
∴
OD
=-
1
2
PA
．∴
OD
∥
PA
．∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=2a∴h=
7
2
a，
∴
OD
=(-
2
4
a，0，
14
4
a)，可求得平面PBC的法向量
n
=(-1，1，
1
7
)，
∴cos?
OD
，
n
＞=
OD
•
n
|
OD
|•|
n
|
=
210
30
．
設OD與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=|cos?
OD
，
n
＞|=
210
30
，
∴OD與平面PBC所成的角為arcsin
210
30

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知A，B，C三點在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO-ABC為正四面體，那么A，B兩點的球面距離為______；點O到平面ABC的距離為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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（I）求證：A1C1∥平面AB1C；
（Ⅱ）求證：△AB1D為直角三角形；
（Ⅲ）若三棱錐B1-ACD的體積為
3
3
，求棱BB1的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求異面直線PD與BC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面ADE⊥平面PBC；
（3）求直線AE與平面ABCD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖甲，在等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC上的點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖乙所示的三棱錐A-BCF，證明：DE∥平面BCF．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點．給出下面四個結(jié)論：
①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC，
其中所有不正確的結(jié)論的序號是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC1D1；
（2）求證：EF⊥B1C；
（3）求三棱錐VB1-EFC的體積．

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