Question

(本小題滿分12分) 已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（Ⅰ）若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程．

 

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)求交點(diǎn)；（2）利用點(diǎn)差法可求圓錐曲線和一直線兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，第一步，先設(shè)出直線與圓錐曲線兩個(gè)交點(diǎn)如，，這兩點(diǎn)是圓錐曲線上的點(diǎn)，代入圓錐曲線方程，然后作差，通過(guò)變形可得一個(gè)直線斜率的式子，一般情況下，知道的中點(diǎn)或斜率

常用這種方法，但要注意必要時(shí)，對(duì)得出的答案要驗(yàn)證，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根.

試題解析：(1)由，又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

(2)由于過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，由于M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有,.

兩式相減得：.由題意可知直線PM、PN的斜率存在，

則則

由a＝2得b＝1，故所求橢圓的方程為 .

考點(diǎn)：求橢圓方程及焦點(diǎn).