Question

【題目】如圖，有三種類型的紙片(可翻轉(zhuǎn))。

證明:（1）當(dāng)時(shí)，的紙板不能分割成若干個(gè)I型、II型的紙片;

（2）當(dāng)n為大于2的偶數(shù)時(shí)，的紙板可以分割成若干個(gè)II型、III型的紙片。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)用反證法證明.

假設(shè)紙板可以分割成u個(gè)I型、v個(gè)II型紙片.

將紙板的各方格按圖6方式從左上向右下標(biāo)號.

接下來，將填有1、2、3、4的單元格依次記為.則每個(gè)I型紙片包含各1個(gè);每個(gè)II型紙片或包含各1個(gè)，或包(或，或，或)各2個(gè).

設(shè)上述II型紙片各有個(gè).則所有紙片共包含

個(gè)，個(gè)，個(gè)，個(gè)，其奇偶性相同.

但當(dāng)時(shí)，紙板上各有個(gè)，有個(gè)，有個(gè)，其奇偶性不同，矛盾.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)時(shí)，如下圖，命題成立.

假設(shè)可將n×n(n為大于2的偶數(shù))紙板分割.則對(n+4)×(n+4)紙板，將其分成中心的n×n紙板及邊上寬為2個(gè)方格的環(huán).

如下圖，可將環(huán)分割為若干個(gè)Ⅱ、Ⅲ型(以n=6為例，其余情況只需在各邊增加若干個(gè)Ⅱ型紙片即可).中心的n×n紙板由歸納假設(shè)可以分割

綜上，命題成立.