Question

【題目】在正方體的個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)側(cè)面（底面）的中心及體的中心共個(gè)點(diǎn)中，若由兩兩不同的且不共線的個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面與由另外個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成的直線垂直，則稱這個(gè)點(diǎn)為“正交點(diǎn)組”，那么，由這個(gè)點(diǎn)形成的正交點(diǎn)組的總個(gè)數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，設(shè)為體的中心，為各側(cè)面中心.

按構(gòu)成平面的那個(gè)點(diǎn)所在的平面（簡稱為“點(diǎn)平面”）進(jìn)行分類討論.

觀察知點(diǎn)平面只有種可能：側(cè)面（如），對角面（如），由三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形（如），中心面（如）.

（1）當(dāng)側(cè)面為時(shí)，由可構(gòu)成個(gè)不共線的點(diǎn)組（點(diǎn)平面，以下同），由可構(gòu)成個(gè)點(diǎn)組，于是，由點(diǎn)組與點(diǎn)組可組合成個(gè)正交點(diǎn)組.另外，由點(diǎn)及中的某兩個(gè)點(diǎn)可形成個(gè)不共線的點(diǎn)組，任取此個(gè)點(diǎn)組中的任何一個(gè)，例如，與此點(diǎn)組垂直的點(diǎn)組為，，，故可形成個(gè)正交點(diǎn)組.注意到，共有個(gè)側(cè)面.從而，點(diǎn)組由側(cè)面形成的正交點(diǎn)組一共有個(gè).

（2）當(dāng)對角面為時(shí)，可知點(diǎn)組由中的個(gè)點(diǎn)形成的正交點(diǎn)組共有個(gè).因?yàn)橐还灿?/span>個(gè)對角面，所以，一共形成個(gè)該種類型的正交點(diǎn)組.

（3）當(dāng)正三角形為時(shí)，點(diǎn)組由形成，點(diǎn)組由形成，所以，共有個(gè)正交點(diǎn)組.

（4）當(dāng)中心面為時(shí)，點(diǎn)組由形成，共有個(gè)正交點(diǎn)組.因?yàn)楣灿?/span>個(gè)中心面，所以，一共有個(gè)該種類型的正交點(diǎn)組.

綜上所述，一共有個(gè)正交點(diǎn)組. 選D.