Question

已知數列{b_n}是等差數列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145.
(1)求數列{b_n}的通項公式b_n；
(2)設數列{a_n}的通項a_n＝log_a(其中a＞0且a≠1)．記S_n是數列{a_n}的前n項和，試比較S_n與log_ab_n＋1的大小，并證明你的結論.

Answer 1

（1）b_n＝3n－2.（2）當a＞1時，S_n＞log_ab_n＋1，當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n＋1

(1)設數列{b_n}的公差為d，
由題意得?∴b_n＝3n－2.
(2)由b_n＝3n－2，知S_n＝log_a(1＋1)＋log_a＋…＋log_a
＝log_a
而log_ab_n＋1＝log_a，于是，比較S_n與log_ab_n＋1的大小?比較
(1＋1)與的大小.
取n＝1，有1＋1＝>＝，
取n＝2，有(1＋1)>>＝.
推測(1＋1)…＞，(^*)
①當n＝1時，已驗證(^*)式成立；
②假設n＝k(k≥1)時(^*)式成立，即(1＋1)＞，
則當n＝k＋1時，
(1＋1)>.
∵－＝>0，∴，
從而(1＋1)，即當n＝k＋1時，(^*)式成立．由①②知(^*)式對任意正整數n都成立．于是，當a＞1時，S_n＞log_ab_n＋1，當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n＋1