Question

若n=

∫

π 2 0

8sinxdx，則（2-

x

）ⁿ展開式中不含x⁴項(xiàng)的其他各項(xiàng)系數(shù)的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：由定積分求出n的值，代入（2-

x

）ⁿ，求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)；由x得系數(shù)確定r值，可求x⁴項(xiàng)的系數(shù)；再給二項(xiàng)式中的x賦值1，得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)的和；進(jìn)而得到不含x⁴項(xiàng)的其他各項(xiàng)系數(shù)的和．

解答： 解：∵n=

∫

π 2 0

8sinxdx=（-8cosx）

|

π 2 0

=-8cos

π

2

+8cos0=8，
（2-

x

）ⁿ=（2-

x

）⁸，
其展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₈^r2^8-r（-

x

）^r=（-1）^rC₈^r2^8-rx 

r

2

，
令

r

2

=4得r=8
∴二項(xiàng)展開式中x⁴的系數(shù)為（-1）⁸C₈⁸2^8-8=1，
令（2-

x

）⁸中的x=1，
得到（2-

x

）⁸的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，
故（2-

x

）ⁿ展開式中不含x⁴項(xiàng)的其他各項(xiàng)系數(shù)的和為0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分，考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．