Question

求函數(shù)y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

的最小值

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)值的符號

專題：三角函數(shù)的求值

分析：法一、由題意可取x∈(0，

π

2

)，然后直接去掉絕對值，通分后令sinx+cosx=t，求出t的范圍，把函數(shù)化為關(guān)于t的函數(shù)求最小值．
法二、由題意可知當(dāng)sinx與cosx異號時函數(shù)能取最小值，然后分類取絕對值化簡，換元后進(jìn)行求解最小值，則答案可求．

解答： 解：法一、由題意可取x∈(0，

π

2

)，
則函數(shù)y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

轉(zhuǎn)化為：
y=

1

sinx

+

1

cosx

+

cosx

sinx

+

sinx

cosx

，
=

sinx+cosx+1

sinxcosx

．
令sinx+cosx=t，
則sinxcosx=

t2-1

2

．
又t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∵x∈(0，

π

2

)，
∴t∈（1，

2

]．
∴y=

t+1

t2-1 2

=

2

t-1

，
∴ymin=2

2

+2．
故答案為：2

2

+2．
法二、由題意可知，
當(dāng)sinx•cosx＜0時函數(shù)y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

有可能取得最小值．
當(dāng)sinx＞0，cosx＜0時，
y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

=

1

sinx

-

1

cosx

-

cosx

sinx

-

sinx

cosx

=

cosx-sinx-(cos2x+sin2x)

sinxcosx

=

cosx-sinx-1

sinxcosx

．
令cosx-sinx=t，
則sinxcosx=

1-t2

2

．
又t=cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)∈[-

2

，-1)．
∴y=

t-1

1-t2 2

=-

2

t+1

，
∴y_min=2

2

+2；
當(dāng)sinx＜0，cosx＞0時，
y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

=-

1

sinx

+

1

cosx

-

cosx

sinx

-

sinx

cosx

=

sinx-cosx-1

sinxcosx

．
令sinx-cosx=t，
則sinxcosx=

1-t2

2

．
又t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)∈[-

2

，-1)．
∴y=

t-1

1-t2 2

=-

2

t+1

，
∴y_min=2

2

+2．∈
綜上，函數(shù)y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

的最小值為2

2

+2．
故答案為：2

2

+2．

點評：本題考查了三角函數(shù)值的符號，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和換元法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是換元后由三角函數(shù)的符號得到變量的取值范圍，是中檔題．