已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個(gè)橢圓的方程．
（1）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，直線l：y=x-c
A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)為（x0，y0），則
直線方程代入橢圓方程可得（a2+b2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0
∴x1+x2=
2a2c
a2+b2
，∴x0=
a2c
a2+b2
，y0=x0-c=
-b2c
a2+b2

∵四邊形OACB為平行四邊形
∴C（
2a2c
a2+b2
，
-2b2c
a2+b2
）
代入橢圓方程并化簡可得4c2=a2+b2
∵b2=a2-c2
∴2a2=5c2
∴e=
10
5
；
（2）由題意，S△OAC=S△OAB
∵直線AB過焦點(diǎn)F，∴AB=AF+FB=（a-ex1）+（a-ex1）=2a-e（x1+x2）=2a-e•
2a2c
a2+b2
①
∵e=
10
5
，∴c=
10
5
a，b2=
3
5
a2
代入①，可得AB=
3
2
a
∵原點(diǎn)到直線l的距離d=
c
2
=
5
5
a
∴△OAB的面積等于
1
2
AB•d=
3
5
20
a2
由
3
5
20
a2=15
5
，可得a=10，∴b2=60
∴橢圓的方程為
x2
100
+
y2
60
=1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•煙臺(tái)二模）已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個(gè)橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年蕪湖一中5月最后一模數(shù)學(xué)試卷(理科) 題型：044

已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(c＞0)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，且|OF|＝2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程及離心率．

(2)若，求直線PQ的方程．

(3)設(shè)，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年山東省煙臺(tái)市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15，求這個(gè)橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于  A．B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使四邊形OACB為平行四邊形．

  （1）求橢圓的離心率；

  （2）若△OAC的面積為15，求這個(gè)橢圓的方程．

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