已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15，求這個橢圓的方程．
【答案】分析：（1）設(shè)出直線、橢圓的方程，聯(lián)立方程，利用韋達定理，結(jié)合四邊形OACB為平行四邊形，確定C的坐標，代入橢圓方程，即可求得離心率；
（2）求出AB，原點到直線l的距離，可得△OAB的面積，利用△OAC的面積為15，求這個橢圓的方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，直線l：y=x-c
A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為（x，y），則
直線方程代入橢圓方程可得（a2+b2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0
∴x1+x2=，∴x=，y=x-c=
∵四邊形OACB為平行四邊形
∴C（，）
代入橢圓方程并化簡可得4c2=a2+b2
∵b2=a2-c2
∴2a2=5c2
∴e=；
（2）由題意，S△OAC=S△OAB
∵直線AB過焦點F，∴AB=AF+FB=（a-ex1）+（a-ex1）=2a-e（x1+x2）=2a-e•①
∵，∴，
代入①，可得AB=
∵原點到直線l的距離d==
∴△OAB的面積等于=
由，可得a=10，∴b2=60
∴橢圓的方程為．
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•煙臺二模）已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年蕪湖一中5月最后一模數(shù)學(xué)試卷(理科) 題型：044

已知橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F(c，0)(c＞0)的準線l與x軸交于點A，且|OF|＝2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．

(1)求橢圓的方程及離心率．

(2)若，求直線PQ的方程．

(3)設(shè)，過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于  A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．

  （1）求橢圓的離心率；

  （2）若△OAC的面積為15，求這個橢圓的方程．

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