Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且傾斜角為120°的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)，A，B在直線l上的射影是A₁，B₁．
①求梯形AA₁B₁B的面積；
②若點(diǎn)C是線段A₁B₁上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y²=4x．
（2）①由題意得，直線AB的方程為y=-（x-1），
由 消y得
3x²-10x+3=0，解得x₁=，x₂=3
于是，A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（，），B（3，-2），
所以|A₁B₁|=+=，|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2=
S=（|AA₁|+|BB₁|）|A₁B₁|=
②設(shè)C（-1，y）使△ABC成直角三角形，
|AC|²=（-1-）²+（y-）²=-+y²，
|BC|²=（3+1）²+（y+）²=28+4y+y²，
|AB|²==．
（i） 當(dāng)∠A=90°時(shí)，得直線AC的方程為y-=（x-），
求得C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，-）．
（ii） 因?yàn)椤螦BB₁=60°，所以，∠ABC不可能為直角．
（iii）當(dāng)∠C=90°時(shí)，由幾何性質(zhì)得C點(diǎn)是A₁B₁的中點(diǎn)，即C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，）．
故當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，-）或（-1，）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，可知?jiǎng)訄A圓心的軌跡為拋物線，再利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程．
（2）①根據(jù)直線的傾斜角為120°，可得到直線的斜率，再根據(jù)直線過定點(diǎn)P（1，0），就可用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程，再與（1）中所求拋物線方程聯(lián)立，解出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，求出，|AA₁|+|BB₁|，再利用梯形的面積公式，求出梯形AA₁B₁B的面積．
②因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，沒有給出那一個(gè)角是直角，所以分三種情況討論，（i）∠A=90°，（ii）∠ABC=90°，
（iii）∠C=90°，分別求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定義法求點(diǎn)的軌跡方程，以及拋物線中，由焦點(diǎn)弦，準(zhǔn)線，焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段組成的梯形的性質(zhì)．