Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-

3

的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)．問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，結(jié)合拋物線的定義得動(dòng)圓圓心的軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)存在C點(diǎn)，使得△ABC為以CA、CB為兩腰的等腰三角形，由三角形的邊長(zhǎng)相等求不出符合題意的C的坐標(biāo)，從而說明假設(shè)錯(cuò)誤，得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵動(dòng)圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，
∴動(dòng)圓圓心M到定點(diǎn)P（1，0）和到定直線x=-1的距離相等．
∴動(dòng)圓圓心的軌跡是以P（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
軌跡方程為y²=4x；
（2）設(shè)AB所在直線方程為y=-

3

(x-1)．
由

y=- 3 (x-1) y2=4x

，消去y得：3x²-10x+3=0．
解得：A（

1

3

，

2 3

3

），B（3，-2

3

），
假設(shè)存在這樣的C點(diǎn)，使得△ABC為以CA、CB為兩腰的等腰三角形，
設(shè)C（-1，y），則|AC|=|AB|=|BC|，
∴(

1

3

+1)2+(

2 3

3

-y)2=(3-

1

3

)2+(2

3

+

2 3

3

)2①
(3+1)2+(2

3

+y)2=(3-

1

3

)2+(2

3

+

2 3

3

)2②
解①得：y=

2 3

3

±

4 15

3

．
解②得：y=-2

3

±

4 7

9

．
∴滿足|AC|=|AB|=|BC|的點(diǎn)C不存在．
∴△ABC不能為正三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由拋物線的定義求軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了存在性問題的求解方法，是中檔題．