Question

已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-

3

的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件直接代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（Ⅱ）（i）先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)C設(shè)出來，利用△ABC為正三角形對應(yīng)的|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，看能否求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．
（ii）分三種情況分別求當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，對應(yīng)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，
直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由題意得，
直線AB的方程為y=-

3

(x-1)由

y=- 3 (x-1) y2=4x

消y得3x²-10x+3=0，解得x1=

1

3

，x2=3．
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

3

，

2 3

3

)，
B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2

3

），|AB|=x1+x2+2=

16

3

．
假設(shè)存在點(diǎn)C（-1，y），
使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即①②

(3+1)2+(y+2 3 )2=( 16 3 )2 ( 1 3 +1)2+(y- 2 3 )2=( 16 3 )2

由①-②得42+(y+2

3

)2=(

4

3

)2+(y-

2 3

3

)2，
解得y=-

14 3

9

．
但y=-

14 3

9

不符合①，
所以由①，②組成的方程組無解．
因此，直線l上不存在點(diǎn)C，
使得△ABC是正三角形．
（ii）設(shè)C（-1，y）使△ABC成鈍角三角形，
由

y=- 3 (x-1) x=-1

得y=2

3

，
即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2

3

）時，A，B，C三點(diǎn)共線，
故y≠2

3

．
又|AC|2=(-1-

1

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

28

9

-

4 3 y

3

+y2，
|BC|2=(3+1)2+(y+2

3

)2=28+4

3

y+y2，
|AB|2=(

16

3

)2=

256

9

．
當(dāng)|BC|²＞|AC|²+|AB|²，
即28+4

3

y+y2＞

28

9

-

4 3

3

y+y2+

256

9

，
即y＞

2

9

3

時，∠CAB為鈍角．
當(dāng)|AC|²＞|BC|²+|AB|²，
即

28

9

-

4 3

3

y+y2＞28+4

3

y+y2+

256

9

，
即y＜-

10

3

3

時∠CBA為鈍角．
又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，
即

256

9

＞

28

9

-

4 3 y

3

+y2+28+4

3

y+y2，
即y2+

4

3

3

y+

4

3

＜0，(y+

2

3

)2＜0．
該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角．
因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，
點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y＜-

10 3

3

或y＞

2 3

9

(y≠2

3

)．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．